已知 $f(x)=\begin{cases}x+\dfrac 4x,&0<x\leqslant 4\\ -x^2+10x-20,&x>4\end{cases}$，若存在 $0<a<b<c<d$，且 $f(a)=f(b)=f(c)=f(d)$，则 $a+b+c+d$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
$f(x)$ 图象如下：
因为存在 $0<a<b<c<d$，使得 $f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=k$，所以$$4<k<5.$$$a,b$ 为方程$$x+\dfrac 4x=k$$的两个实数解，即$$x^2-kx+4=0.$$所以$$\begin{cases}ab=4,\\a+b=k.\end{cases}$$$c,d$ 为方程$$-x^2+10x-20=k$$的两个实数解，所以$$\begin{cases}c+d=10,\\ cd=20+k.\end{cases}$$所以$$a+b+c+d=10+k$$结合 $4<k<5$ 可得 $a+b+c+d$ 的取值范围为 $(14,15)$．
因为存在 $0<a<b<c<d$，使得 $f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=k$，所以$$4<k<5.$$$a,b$ 为方程$$x+\dfrac 4x=k$$的两个实数解，即$$x^2-kx+4=0.$$所以$$\begin{cases}ab=4,\\a+b=k.\end{cases}$$$c,d$ 为方程$$-x^2+10x-20=k$$的两个实数解，所以$$\begin{cases}c+d=10,\\ cd=20+k.\end{cases}$$所以$$a+b+c+d=10+k$$结合 $4<k<5$ 可得 $a+b+c+d$ 的取值范围为 $(14,15)$．
题目
答案
解析
备注
