$\left(1+\cos\dfrac {\pi}7\right)\left(1+\cos\dfrac{3\pi}7\right)\left(1+\cos\dfrac{5\pi}7\right)$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学博雅计划数学试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
记 $x_k=\cos\dfrac{k\pi}7$，$k\in\mathbb N$，则\[\begin{split}
(1+x_1)(1+x_3)(1+x_5)&=1+x_1+x_3+x_5+x_1x_3+x_3x_5+x_5x_1+x_1x_3x_5\\
&=1+x_1+x_3+x_5+\dfrac {x_2+x_4}2+\dfrac{x_2+x_8} 2+\dfrac{x_4+x_6}2-x_2x_4x_8,\\
&=1+x_1+x_3+x_5+x_2+x_4+x_6-\dfrac 18\\
&=\dfrac 78.\end{split}\]
(1+x_1)(1+x_3)(1+x_5)&=1+x_1+x_3+x_5+x_1x_3+x_3x_5+x_5x_1+x_1x_3x_5\\
&=1+x_1+x_3+x_5+\dfrac {x_2+x_4}2+\dfrac{x_2+x_8} 2+\dfrac{x_4+x_6}2-x_2x_4x_8,\\
&=1+x_1+x_3+x_5+x_2+x_4+x_6-\dfrac 18\\
&=\dfrac 78.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
