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当 $x\in(2,3)$ 时，若不等式 $\log_a(x-1)-(x-2)^2>0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left(0,\dfrac 12\right]$
B: $\left[\dfrac 12,1\right)$
C: $(1,2]$
D: $[2,+\infty)$
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    对数函数
【答案】
C
【解析】
令 $t=x-1$，则 $t\in(1,2)$，根据题意，有$$\forall t\in (1,2),\log_at>(t-1)^2.$$如图，作出函数 $f(t)=(t-1)^2$（$1<t<2$）的图象，则 $y={\log_a}t$ 的图象在其上方．
题目 答案 解析 备注
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