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已知函数 $f(x)=\begin{cases}x^2+2x-3,&x\geqslant 0,\\ x^2-2x-3,&x<0,\end{cases}$ 若 $|x_1|<|x_2|$，则下列不等式中恒成立的是 \((\qquad)\)
A: $f(x_1)+f(x_2)>0$
B: $f(x_1)+f(x_2)<0$
C: $f(x_1)-f(x_2)>0$
D: $f(x_1)-f(x_2)<0$
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的奇偶性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
【答案】
D
【解析】
由于函数在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，因此由 $0\leqslant |x_1|<|x_2|$，可得\[f\left(|x_1|\right)<f\left(|x_2|\right).\]又 $f(x)$ 为偶函数，于是\[f(x)=f\left(|x|\right),\]于是\[f(x_1)<f(x_2).\]
题目 答案 解析 备注
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