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已知 $a,b$ 是方程 $x^2+2000x+1=0$ 的两个根，则 $\left(a^2+2014a+15\right)\left(b^2+2015b+16\right)$ 的值为 \((\qquad)\)
A: $0$
B: $1$
C: $-419580$
D: $-420000$
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    根与系数的关系
    >
    二次方程的韦达定理
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的次
    >
    降次
【答案】
C
【解析】
设 $m=\left(a^2+2014a+15\right)\left(b^2+2015b+16\right)$，则根据题意，有\[\begin{split}m&=\left(-2000a-1+2014a+15\right)\left(-2000b-1+2015b+16\right)\\
&=(14a+14)(15b+15)\\
&=210(ab+a+b+1)\\
&=210(1-2000+1)\\
&=-419580.\end{split}\]
题目 答案 解析 备注
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