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对任意的实数 $x$，若关于 $x$ 的不等式 $(1-a)x^2-2(1-a)x+6>0$ 恒成立，那么大于 $a$ 的最小整数是 \((\qquad)\)
A: $2$
B: $1$
C: $0$
D: $-5$
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    二次函数
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
【答案】
A
【解析】
情形一 $a=1$．此时不等式即 $6>0$，恒成立．
情形二 $a\ne 1$．此时有\[\begin{cases}1-a>0,\\ \Delta=4(1-a)^2-24(1-a)<0,\end{cases}\]解得 $a\in (-5,1)$．
综上所述，大于 $a$ 的最小整数为 $2$．
题目 答案 解析 备注
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