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已知函数 $f(x)=1-2^x$，$g(x)=x^2-4x+3$，若存在 $a,b$ 使得 $f(a)=g(b)$，则 $b$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left[2-\sqrt 2,2+\sqrt 2\right]$
B: $\left(2-\sqrt 2,2+\sqrt 2\right)$
C: $\left[1,3\right]$
D: $(1,3)$
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    指数函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    解不等式
    >
    解二次不等式
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
【答案】
B
【解析】
$f(x)$ 值域为 $(-\infty,1)$，题意即求 $g(b)<1$ 的解集，易得\[2-\sqrt 2<b<2+\sqrt 2.\]
题目 答案 解析 备注
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