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已知函数 $f(x)=\dfrac{x^2+ax+14}{x+2}$（$a\in \mathbb R$），若对任意的 $x\in \mathbb N^*$，$f(x)\geqslant 3$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left(-\infty,-\dfrac 83\right]$
B: $\left[\dfrac{26}{3},+\infty\right)$
C: $\left[-\dfrac 83,+\infty\right)$
D: $[-3,+\infty)$
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    分离变量法
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    分式函数
【答案】
C
【解析】
根据题意，有\[\forall x\in\mathbb N^*,a\geqslant -\left(x+\dfrac 8x\right)+3,\]于是可得 $a$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 83,+\infty\right)$．
题目 答案 解析 备注
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