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当 $x\in\left[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\right]$ 时，关于 $x$ 的函数 $y=a\left(\sin^2{\dfrac x2}-2\sqrt 3 \sin{\dfrac x2}\cos {\dfrac x2}-\cos^2{\dfrac x2}\right)$ 的图象与 $|y|=2$ 的图象恰有两个不同的交点，则实数 $|a|$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $|a|<1$
B: $|a|>1$
C: $|a|<2$
D: $|a|>2$
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 知识点
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    函数
    >
    常见初等函数
    >
    三角函数
  • 知识点
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    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
  • 知识点
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    三角
    >
    三角恒等变换
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    辅助角公式
  • 知识点
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    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    二倍角公式
【答案】
B
【解析】
题中函数即\[y=-2a\sin\left(x+\dfrac {\pi}{6}\right),\]当 $x\in\left[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\right]$ 时，有 $x+\dfrac{\pi}6$ 的取值范围是 $[0,\pi]$，所以当 $|a|>1$ 时，满足题意，即 $|a|$ 的取值范围是 $(1,+\infty)$．
题目 答案 解析 备注
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