如图，在 ${\rm Rt}\triangle{ABC}$ 的斜边 $AB$ 上有点 $P$，它到这个三角形两条直角边的距离分别为 $4$ 和 $3$，则当 $\triangle{ABC}$ 的面积最小时，$PB$ 的长是 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
设 $AC=b$，$BC=a$，则由相似可得$$\dfrac{3}{b}=\dfrac{a-4}{a},$$即 $ab=3a+4b$．所以$$S_{\triangle{ABC}}=\dfrac 12ab=\dfrac 12(3a+4b)\geqslant \sqrt{3a\cdot 4b}.$$所以 $ab\geqslant 48$，当且仅当 $3a=4b$，即 $a=8$ 时面积有最小值，此时 $|PB|=5$．
题目
答案
解析
备注
