已知 $x,y\in\mathbb R^+$，$x+y=1$，$M=\dfrac{\sqrt{x}}{x+y^2}+\dfrac{\sqrt{y}}{x^2+y}$，$N=\dfrac{\sqrt{y}}{x+y^2}+\dfrac{\sqrt{x}}{x^2+y}$，则 $M$ 与 $N$ 的大小关系是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}M&=\dfrac{\sqrt x}{x+(1-x)^2}+\dfrac{\sqrt{1-x}}{x^2+1-x}\\
&=\dfrac{\sqrt x+\sqrt{1-x}}{x^2-x+1}\\
&=N.\end{split}\]也可以直接作差得$$M-N=\dfrac{(\sqrt x-\sqrt y)(x-y)(x+y-1)}{(x+y^2)(x^2+y)}=0.$$
&=\dfrac{\sqrt x+\sqrt{1-x}}{x^2-x+1}\\
&=N.\end{split}\]也可以直接作差得$$M-N=\dfrac{(\sqrt x-\sqrt y)(x-y)(x+y-1)}{(x+y^2)(x^2+y)}=0.$$
题目
答案
解析
备注
