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已知点 $P$ 是边长为 $1$ 的正五边形 $ABCDE$ 内（含边界）一点，则 $\left|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}\right|$ 的最大值是  \((\qquad)\)
A: $\dfrac{1}{2\cos36^\circ}$
B: $\dfrac{1}{2\sin36^\circ}$
C: $\dfrac{5}{2\cos36^\circ}$
D: $\dfrac{5}{2\sin36^\circ}$
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的线性表示
    >
    向量的换底公式
【答案】
D
【解析】
令正五边形的中心为 $O$，利用“换底公式”将所求式子中的向量换成以 $O$ 为底，得$$\begin{split}&\left|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}\right|\\=&\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}-5\overrightarrow{OP}\right|\\=&\left|5\overrightarrow{OP}\right|.\end{split}$$在正五边形中，当 $P$ 为正五边形的顶点重合时，$OP$ 的最大值，为 $\dfrac{1}{2\sin36^\circ}$，如图．故所求的最大值为 $\dfrac{5}{2\sin36^\circ}$．
题目 答案 解析 备注
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