如果二次函数 $f(x)=ax^2+x+a$ 的顶点坐标满足 $x^2+\dfrac{y^2}{4}\leqslant1$，则 $a$ 的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
由题意知，二次函数 $f(x)$ 的顶点坐标为 $\left(-\dfrac{1}{2a},\dfrac{4a^2-1}{4a}\right)$，因此$$\dfrac{1}{4a^2}+\dfrac{\left(\dfrac{4a^2-1}{4a}\right)^2}{4}\leqslant1,$$整理得$$\left(4a^2-1\right)\left(4a^2-17\right)\leqslant0,$$解得\[\dfrac 12\leqslant |a|\leqslant \dfrac{\sqrt{17}}2,\]因此实数 $a$ 的最小值为 $-\dfrac{\sqrt{17}}{2}$．
题目
答案
解析
备注
