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已知点 $A,B,C,P$ 在同一平面内，且 $\overrightarrow{PQ}=\dfrac13\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{QR}=\dfrac13\overrightarrow{QB}$，$\overrightarrow{RP}=\dfrac13\overrightarrow{RC}$，则 $\triangle ABC$ 与 $\triangle PBC$ 的面积之比是  \((\qquad)\)
A: $14:3$
B: $19:4$
C: $24:5$
D: $29:6$
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量中的常用知识
    >
    奔驰定理
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的线性表示
    >
    向量的换底公式
【答案】
B
【解析】
利用向量的换底公式，得\[\begin{split}\overrightarrow{PQ}&=\dfrac13\overrightarrow{PA},\\\overrightarrow{PR}-\overrightarrow{PQ}&=\dfrac13\left(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PQ}\right),\\\overrightarrow{PR}&=-\dfrac13\left(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PR}\right),\end{split}\]整理得$$\dfrac29\overrightarrow{PA}+\dfrac13\overrightarrow{PB}+\dfrac12\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0},$$根据“奔驰定理”，得$$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle PBC}=\dfrac{\dfrac12+\dfrac13+\dfrac29}{\dfrac29}=\dfrac{19}{4}.$$
题目 答案 解析 备注
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