设不等式组 $\begin{cases}x,y\geqslant0,\\\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}\leqslant1,\end{cases}$ 表示的区域为 $D$．已知对于 $a\geqslant0,b\geqslant0$，当点 $P(x,y)\in D$ 时，$ax+by\leqslant5$ 恒成立，则点 $(a,b)$ 所形成的平面区域的面积等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
在区域 $D$ 内分别取 $(x,y)=(3,0)$ 以及 $(x,y)=(0,4)$ 得到 $3a\leqslant 5$ 且 $4b\leqslant 5$．
又当 $a\leqslant \dfrac 53$ 且 $b\leqslant\dfrac 54$ 时，有$$ax+by\leqslant \dfrac 53x+\dfrac 54y\leqslant 5,$$恒成立．于是符合条件 $(a,b)$ 由不等式组\[\begin{cases} 0\leqslant a\leqslant \dfrac 53,\\ 0\leqslant b\leqslant \dfrac 54\end{cases}\]确定，该不等式组表示的平面区域的面积为 $\dfrac{25}{12}$．
又当 $a\leqslant \dfrac 53$ 且 $b\leqslant\dfrac 54$ 时，有$$ax+by\leqslant \dfrac 53x+\dfrac 54y\leqslant 5,$$恒成立．于是符合条件 $(a,b)$ 由不等式组\[\begin{cases} 0\leqslant a\leqslant \dfrac 53,\\ 0\leqslant b\leqslant \dfrac 54\end{cases}\]确定，该不等式组表示的平面区域的面积为 $\dfrac{25}{12}$．
题目
答案
解析
备注
