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已知函数 $f(x)=\begin{cases}|\lg(-x)|,&x<0,\\x^2-6x+4,&x>0.\end{cases}$ 若关于 $x$ 的函数 $y=f^2(x)-bf(x)+1$ 有 $8$ 个不同的零点，则实数 $b$ 的取值范围是  \((\qquad)\)
A: $(2,+\infty)$
B: $[2,+\infty)$
C: $\left(2,\dfrac{17}{4}\right)$
D: $\left(2,\dfrac{17}{4}\right]$
【难度】
【出处】
2015年第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    复合函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    分式函数
【答案】
C
【解析】
画出 $f(x)$ 的图象如下．于是直线 $y=t$ 与 $y=f(x)$ 的图象公共点对应关系为\[\begin{array}
{c|cccccc} \hline
t&(-\infty,-5)&-5&(-5,0)&0&(0,4)&[4,+\infty)\\ \hline
x&0&1&2&3&4&3 \\ \hline
\end{array}\]因此题意即关于 $t$ 的方程 $t^2-bt+1=0$ 在 $(0,4)$ 上有两个实数解．分离变量，有\[b=t+\dfrac 1t,\]于是实数 $b$ 的取值范围是 $\left(2,\dfrac{17}4\right)$．
题目 答案 解析 备注
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