根据题意，有\[\begin{split} \sin^2A&=\cos A\cdot \tan A,\\
\cos^2A&=\sin A\cdot \tan A,\\
\tan^2A&=\sin A\cdot \cos A,\end{split}\]中的一个成立．其中第一个等式等价于 $\sin A=0$ 或 $\sin A=1$，不符合题意．
情形一 $\cos^2A=\sin A\cdot \tan A$．此时\[\sin ^2A=\cos^3A,\]也即\[\cos^2A+\cos^3A=1,\]考虑到函数 $f(x)=x^3+x^2$ 在 $\left(-1,-\dfrac 23\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac 23,0\right)$ 上单调递减，在 $\left(0,1\right)$ 上单调递增，且\[f\left(-\dfrac 23\right)=\dfrac 8{27},f(1)=2,f\left(\dfrac{\sqrt 2}2\right)=\dfrac{2+\sqrt 2}4,\]于是符合题意的 $\cos A$ 有且只有一个，在区间 $\left(\dfrac{\sqrt 2}2,1\right)$ 上，对应的 $A$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}4\right)$ 上．
情形二 $\tan^2A=\sin A\cdot \cos A$．此时\[\sin A=\cos^3A,\]即\[\sin A-\cos^3A=0.\]此时 $A$ 是锐角，记左侧为 $g(A)$，则 $g(A)$ 是关于 $A$ 的单调递增函数．而\[g(0)=-1,g\left(\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{\sqrt 2}4,\]因此符合题意的 $A$ 只有一个，在区间 $\left(0,\dfrac{\pi}4\right)$ 上．
综上所述，符合题意的角 $A$ 的大小属于区间 $\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$．