偶函数的定义域应该关于 $y$ 轴对称，所以 $2b=b+1$，即 $b=1$．由题设 $f(x)$ 在 $(-2,0]$ 上为增函数，由偶函数性质关于 $y$ 轴对称，所以在 $[0,2)$ 上为减函数．当 $-2<x-1<2$，$-2<2x<2$ 时，有 $f(|x-1|)=f(x-1)\leqslant f(2x)=f(|2x|)\Rightarrow |x-1|\geqslant |2x|$，即 $(x-1)^2\geqslant 4x^2$，$(3x-1)(x+1)\leqslant 0$，所以 $-1\leqslant x\leqslant\frac{1}{3}$．联立三个不等式 $\begin{cases}-1<x<3\\-1<x<1\\-1\leqslant x\leqslant\frac{1}{3}\end{cases}$ 有 $-1<x\leqslant \frac{1}{3}$．