如图所示，已知三点 $A,B,E$ 在平面 $\alpha$ 内，点 $C,D$ 在 $\alpha$ 外，并且 $AC,DE$ 均垂直于平面 $\alpha$，$BD\perp AB$．若 $AB=3,AC=BD=4,CD=5$，则 $BD$ 与平面 $\alpha$ 所成的角等于 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
取 $AC$ 中点，记为 $F$，连接 $DF,AD,AE$，如图．
由题可知，在 $\triangle ABD$ 中，$$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=5,$$因此 $\triangle ACD$ 为等腰三角形，故$$DF\perp AC,$$因此 $AEDF$ 为矩形，故$$DE=\dfrac12AC=2,$$由题可知 $\angle DBE$ 即为 $BD$ 与平面 $\alpha$ 的平面角，由题$$\sin\angle DBE=\dfrac24=\dfrac12,$$解得 $BD$ 与平面 $\alpha$ 所成的角等于 $30^\circ$．
由题可知，在 $\triangle ABD$ 中，$$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=5,$$因此 $\triangle ACD$ 为等腰三角形，故$$DF\perp AC,$$因此 $AEDF$ 为矩形，故$$DE=\dfrac12AC=2,$$由题可知 $\angle DBE$ 即为 $BD$ 与平面 $\alpha$ 的平面角，由题$$\sin\angle DBE=\dfrac24=\dfrac12,$$解得 $BD$ 与平面 $\alpha$ 所成的角等于 $30^\circ$．
题目
答案
解析
备注
