椭圆 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 上到直线 $2x+3y+1=0$ 的距离等于 $\dfrac{3+\sqrt3}{2}$ 的点的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
设椭圆上任意一点为 $A(3\cos\alpha,2\sin\alpha)$，其中 $\alpha\in[0,2\pi)$，则点 $A$ 到直线 $2x+3y+1=0$ 的距离为$$d=\dfrac{\left|6\sqrt2\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)+1\right|}{\sqrt{13}},$$因此，距离 $d$ 与点 $A$ 个数的对应关系为$$\begin{array}{c|ccccc}\hline d&0&\left(0,\dfrac{6\sqrt2-1}{\sqrt{13}}\right)&\dfrac{6\sqrt2-1}{\sqrt{13}}& \left(\dfrac{6\sqrt2-1}{\sqrt{13}},\dfrac{6\sqrt2+1}{\sqrt{13}}\right)&\dfrac{6\sqrt2+1}{\sqrt{13}}\\ \hline a&2&4&3&2&1\\ \hline \end{array}$$又 $\dfrac{6\sqrt2-1}{\sqrt{13}}<\dfrac{3+\sqrt3}{2}<\dfrac{6\sqrt2+1}{\sqrt{13}}$，故满足题意的点的个数为 $2$．
题目
答案
解析
备注
