设曲线 $y=x^{n+1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标是 $x_n$，则 ${\log_{2010}}x_1+{\log_{2010}}x_2+\cdots+{\log_{2010}}x_{2011}$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=(n+1)x^n,$$因此 $f'(1)=n+1$，所以在 $(1,1)$ 处的切线方程为$$y=(n+1)x-n,$$因此 $x_n=\dfrac{n}{n+1}$，设 ${\log_{2010}}x_1+{\log_{2010}}x_2+\cdots+{\log_{2010}}x_{2011}=M$，则有$$M={\log_{2010}}\left(x_1x_2\cdots x_{2011}\right)=-{\log_{2010}}2012.$$
题目
答案
解析
备注
