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已知 $y=f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的偶函数，且对任意的 $x_1,x_2\in(-\infty,0]$，都使 $(x_2-x_1)\left[f(x_2)-f(x_1)\right]<0$ 成立，则当 $f(\sin x)>f(\cos x)$ 时，$x$ 的取值范围是  \((\qquad)\)
A: $\left(2k\pi-\dfrac{\pi}{4},2k\pi+\dfrac{\pi}{4}\right),k\in\mathbb Z$
B: $\left(k\pi-\dfrac{\pi}{4},k\pi+\dfrac{\pi}{4}\right),k\in\mathbb Z$
C: $\left(2k\pi+\dfrac{\pi}{4},2k\pi+\dfrac{3\pi}{4}\right),k\in\mathbb Z$
D: $\left(k\pi+\dfrac{\pi}{4},k\pi+\dfrac{3\pi}{4}\right),k\in\mathbb Z$
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
由题可知函数 $f(x)$ 是偶函数，且在 $(-\infty,0]$ 上单调递减，故题意即$$|\sin x|>|\cos x|,$$整理得 $\cos2x<0$，因此 $x$ 的取值范围是 $\left(k\pi+\dfrac{\pi}{4},k\pi+\dfrac{3\pi}{4}\right),k\in\mathbb Z$．
题目 答案 解析 备注
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