定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)=2f(x)$，且当 $x\in(2, 4]$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^2+4x, 2<x\leqslant3,\\[4pt]
\dfrac{x^2+2}x, 3<x\leqslant4,\end{array}\right.$ $g(x)=ax+1$，对任意 $x_1\in[-2, 0]$，存在 $x_2\in[-2, 1]$，使得 $g(x_2)=f(x_1)$，则正实数 $a$ 的取值范围为 \((\qquad)\)
\dfrac{x^2+2}x, 3<x\leqslant4,\end{array}\right.$ $g(x)=ax+1$，对任意 $x_1\in[-2, 0]$，存在 $x_2\in[-2, 1]$，使得 $g(x_2)=f(x_1)$，则正实数 $a$ 的取值范围为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
当 $x\in[2, 4]$ 时，由 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^2+4x, 2<x\leqslant3,\\[4pt]\dfrac{x^2+2}x, 3<x\leqslant4,\end{array}\right.$ 可得 $f(x)$ 在 $[2, 3]$ 上单调递减，在 $(3, 4]$ 上单调递增，所以 $f(x)$ 在 $[2, 3]$ 上的值域为 $[3, 4]$，在 $(3, 4]$ 上的值域为 $(\dfrac{11}{3}, \dfrac{9}{2}]$，所以 $f(x)$ 在 $[2, 4]$ 上的值域为 $[3, \dfrac{9}{2}]$；因为 $f(x+2)=2f(x)$，故 $f(x)=\dfrac{1}{2}f(x+2)=\dfrac{1}{4}f(x+4)$，所以 $f(x)$ 在 $[-2, 0]$ 上的值域为 $[\dfrac{3}{4}, \dfrac{9}{8}]$；当 $a>0$ 时，$g(x)$ 为增函数，$g(x)=ax+1$ 在 $[-2, 1]$ 上的值域为 $[-2a+1, a+1]$，从而应满足 $\left\{\begin{array}{l}\dfrac{3}{4}\geqslant1-2a,\\[4pt]\dfrac{9}{8}\leqslant1+a,\end{array}\right.$ 解得 $a\geqslant\frac{1}{8}$．因此选A．
题目
答案
解析
备注
