已知函数 $y=\left(\dfrac12\right)^x$ 的图象与函数 $y={\log_a}x$（$a>0$ 且 $a\ne1$）的图象交于点 $P(x_0,y_0)$，若 $x_0<2$，则实数 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
构造函数 $f(x)={\log_a}x-\left(\dfrac12\right)^x$，求导得$$f'(x)=\dfrac{1}{x\ln a}+\left(\dfrac12\right)^x\cdot\ln 2,$$情形一 当 $a>1$ 时，$f'(x)>0$，此时 $f(x)$ 单调递增，再结合 $f(1)=-\dfrac12<0$，只需$$f(2)={\log_a}2-\dfrac14>0,$$解得 $a\in(1,16)$；
情形二 当 $0<a<1$ 时，若 $x>1$，则 $f(x)<0$；若 $0<x\leqslant1$，有$$f(a)=1-\left(\dfrac12\right)^a>0 , f(1)=-\dfrac12<0,$$因此，存在零点，且零点在 $(0,1)$ 上；
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $(0,1)\cup(1,16)$．
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $(0,1)\cup(1,16)$．
题目
答案
解析
备注
