设 ${F_1}$，${F_2}$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left( {a > b > 0} \right)$ 的左、右焦点，$P$ 为直线 $x = \dfrac{3a}{2}$ 上一点，$\triangle {F_2}P{F_1}$ 是底角为 $30^\circ $ 的等腰三角形，则 $E$ 的离心率为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年高考新课标全国卷（文）
【标注】
【答案】
C
【解析】
设 $ x=\dfrac{3a}{2} $ 交 $ x $ 轴于点 $ M $．
因为 $ \triangle F_2PF_1 $ 是底角为 $ 30^\circ $ 的等腰三角形，所以 $ \angle PF_2F_1=120^\circ $，$ |PF_2|=|F_2F_1| $，且 $ |PF_2|=2|F_2M| $，因为 $ P $ 为直线 $ x=\dfrac{3a}{2} $ 上一点，所以 $ 2\left(\dfrac {3a}{2}-c\right)=2c $，解之得 $ 3a=4c $，所以椭圆 $ E $ 的离心率为 $ e=\dfrac ca=\dfrac 34 $．
因为 $ \triangle F_2PF_1 $ 是底角为 $ 30^\circ $ 的等腰三角形，所以 $ \angle PF_2F_1=120^\circ $，$ |PF_2|=|F_2F_1| $，且 $ |PF_2|=2|F_2M| $，因为 $ P $ 为直线 $ x=\dfrac{3a}{2} $ 上一点，所以 $ 2\left(\dfrac {3a}{2}-c\right)=2c $，解之得 $ 3a=4c $，所以椭圆 $ E $ 的离心率为 $ e=\dfrac ca=\dfrac 34 $．
题目
答案
解析
备注
