已知 $m,l$ 是异面直线，给出以下四个命题：
① 一定存在平面 $\alpha$ 过 $m$ 且与 $l$ 平行；
② 一定存在平面 $\alpha$ 与 $m,l$ 都垂直；
③ 一定存在平面 $\alpha$ 过 $m$ 且与 $l$ 垂直；
④ 一定存在平面 $\alpha$ 与 $m,l$ 的距离都相等．
其中错误命题的个数是 \((\qquad)\)
① 一定存在平面 $\alpha$ 过 $m$ 且与 $l$ 平行；
② 一定存在平面 $\alpha$ 与 $m,l$ 都垂直；
③ 一定存在平面 $\alpha$ 过 $m$ 且与 $l$ 垂直；
④ 一定存在平面 $\alpha$ 与 $m,l$ 的距离都相等．
其中错误命题的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
将 $l$ 平移至与 $m$ 相交，设所得平面为 $\alpha$，则 $\alpha$ 过 $m$ 且与 $l$ 平行，① 正确；
若 $m\perp \alpha$，$n\perp \alpha$，则 $l\parallel m$，与 $m,l$ 为异面直线矛盾 ② 不正确；
若 $m\subset \alpha$，$l\perp \alpha$，则 $l\perp m$，即 $m,l$ 为异面垂直的直线，故 ③ 不正确；
过 $m,l$ 的公垂线段中点且与 $m,l$ 都平行的平面与 $m,l$ 的距离都相等．故 ④ 正确．
若 $m\perp \alpha$，$n\perp \alpha$，则 $l\parallel m$，与 $m,l$ 为异面直线矛盾 ② 不正确；
若 $m\subset \alpha$，$l\perp \alpha$，则 $l\perp m$，即 $m,l$ 为异面垂直的直线，故 ③ 不正确；
过 $m,l$ 的公垂线段中点且与 $m,l$ 都平行的平面与 $m,l$ 的距离都相等．故 ④ 正确．
题目
答案
解析
备注
