设数列的通项为 $a_n$，则\[\begin{split}a_n&=1+10^2+10^4+\cdots +10^{2n}\\&=\dfrac{10^{2n+2}-1}{99},\end{split}\]当 $n=2k-1,k\in\mathbb N^{\ast}$ 时，$$a_n=\dfrac{(100^k-1)(100^k+1)}{99},$$只有当 $n=1$ 时，$a_1=101$ 为质数，其余情况 $a_n$ 均为偶数；当 $n=2k,k\in \mathbb N^{\ast}$ 时，\[\begin{split}a_n&=\dfrac{\left(10^{n+1}-1\right)}{9}\cdot\dfrac{\left(10^{n+1}+1\right)}{ 11}\\&=\dfrac{(10-1)\left(10^n+10^{n-1}+\cdots +10+1\right)}{9}\cdot \dfrac{10^{n+1}+1}{11}\\&=(1+10+\cdots +10^n)\cdot \dfrac{10^{n+1}+1}{11},\end{split}\]考虑 $a=\dfrac{10^{n+1}+1}{11}$，$$a=\dfrac{10^{n+1}+1}{11}=\dfrac{(11-1)^{2k+1}+1}{11},$$则 $a$ 为整数，故 $a_n$ 是合数．
综上，数列 $\{a_n\}$ 中有且只有一个质数．