已知异面直线 $a,b$ 所成角为 $60^\circ $．$A$ 为空间一点，则过 $A$ 与 $a,b$ 都成 $45^\circ $ 角的平面 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年清华大学等七校联考自主招生试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
设异面直线 $a,b$ 成 $\alpha $ 角，$\alpha \in \left( {0,\dfrac{\pi}{2}} \right]$，$A$ 为空间一点，且过 $A$ 与 $a, b$ 都成 $\theta $ 角的直线条数 $n$ 满足：$$\begin{array}{c|cccccc}\hline
\theta&\left(0,\dfrac{\alpha }{2}\right)&\dfrac{\alpha }{2}&\left(\dfrac{\alpha }{2},\dfrac{{\pi - \alpha }}{2}\right)&\dfrac{{\pi - \alpha }}{2}&\left(\dfrac{{\pi - \alpha }}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)&\dfrac{\pi}{2} \\ \hline
n&0&1&2&3&4&1 \\ \hline \end{array}$$对这道题，考虑平面的法线 $n$，则 $n$ 与 $a, b$ 都成 $45^\circ $ 角，因为$$\dfrac{{60^\circ }}{2} < 45^\circ < \dfrac{{180^\circ - 60^\circ }}{2},$$所以满足条件的平面有且只有两个．
\theta&\left(0,\dfrac{\alpha }{2}\right)&\dfrac{\alpha }{2}&\left(\dfrac{\alpha }{2},\dfrac{{\pi - \alpha }}{2}\right)&\dfrac{{\pi - \alpha }}{2}&\left(\dfrac{{\pi - \alpha }}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)&\dfrac{\pi}{2} \\ \hline
n&0&1&2&3&4&1 \\ \hline \end{array}$$对这道题，考虑平面的法线 $n$，则 $n$ 与 $a, b$ 都成 $45^\circ $ 角，因为$$\dfrac{{60^\circ }}{2} < 45^\circ < \dfrac{{180^\circ - 60^\circ }}{2},$$所以满足条件的平面有且只有两个．
题目
答案
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备注
