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已知点 $P$ 为函数 $f(x)=\ln x$ 的图象上任意一点，点 $Q$ 为圆 $\left(x-{\rm e}-{\rm e}^{-1}\right)^2+y^2=1$ 上任意一点，则线段 $PQ$ 的长度的最小值为 \((\qquad)\)
A: $\sqrt{1+{\rm e}^{-2}}-1$
B: $1-\sqrt{1-{\rm e}^{-2}}$
C: $\sqrt{2+{\rm e}^{-2}}-1$
D: ${\rm e}+{\rm e}^{-1}-1$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的最值
【答案】
A
【解析】
题中圆的圆心记为 $A\left({\rm e}+{\rm e}^{-1},0\right)$，则点 $P(x,\ln x)$ 到 $A$ 的距离的平方\[g(x)=\left(x-{\rm e}-{\rm e}^{-1}\right)^2+\ln^2x,\]该函数的导函数\[g'(x)=2x+\dfrac{2\ln x}x-2{\rm e}-2{\rm e}^{-1},\]其二阶导函数\[g''(x)=2\cdot \dfrac{x^2+1-\ln x}{x^2}\geqslant 2\cdot\dfrac{2x-\ln x}{x^2}>0,\]因此函数 $g'(x)$ 单调递增，结合 $g'({\rm e})=0$，于是 $g(x)$ 在 $x={\rm e}$ 处取得极小值，亦为最小值\[g({\rm e})={\rm e}^{-2}+1,\]因此所求 $PQ$ 的最小值为\[\sqrt{{\rm e}^{-2}+1}-1.\]
题目 答案 解析 备注
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