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已知定义在 $\mathbb R$ 上的偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，记函数 $g(x)=xf(x)$，则 \((\qquad)\)
A: 存在函数 $f(x)$，使得 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增
B: 存在函数 $f(x)$，使得 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减
C: 存在函数 $f(x)$，使得 $g(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增
D: 存在函数 $f(x)$，使得 $g(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的奇偶性
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
【答案】
ABCD
【解析】
选项AC取 $f(x)=x^2$ 即可．
选项BD取\[f(x)=\begin{cases} -\dfrac{1}{x+1}, &x\geqslant 0,\\ -\dfrac{1}{-x+1},&x<0,\end{cases}\]则\[g(x)=-\dfrac{x}{|x|+1}\]是 $\mathbb R$ 上的单调递减函数．
题目 答案 解析 备注
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