已知两条直线 $ l_1:y=m $ 和 $ l_2:y={\dfrac{8}{2m+1}}\left(m>0\right) $，$ l_1 $ 与函数 $ y=|{\log_2}x| $ 的图象从左至右相交于点 $ A,B$，$l_2 $ 与函数 $ y=|{\log_2}x| $ 的图象从左至右相交于点 $ C,D $．记线段 $ AC $ 和 $ BD $ 在 $ x $ 轴上的投影长度分别为 $ a,b $．当 $ m $ 变化时，$ {\dfrac{b}{a}} $ 的最小值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年高考湖南卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
分别记 $A,B,C,D$ 的横坐标是 $x_i,i=1,2,3,4$，则有$$m=-{\log}_2x_1={\log}_2x_2,$$于是$$(x_1,x_2)=\left(2^{-m},2^m\right),$$同理可得$$(x_3,x_4)=\left(2^{-\frac{8}{2m+1}},2^{\frac{8}{2m+1}}\right).$$进而$$\begin{cases} a=\left|x_3-x_1\right|=\left|2^{-\frac{8}{2m+1}}-2^{-m}\right|,\\ b=\left|x_4-x_2\right|=\left|2^{\frac{8}{2m+1}}-2^{m}\right|.\end{cases}$$则$$\dfrac ba=2^{m+\frac{8}{2m+1}}=2^{m+\frac12+\frac{8}{2m+1}-\frac12}\geqslant 8\sqrt2.$$当且仅当 $m=\dfrac32$ 时 $\dfrac ba$ 取得最小值 $8\sqrt2$．
题目
答案
解析
备注
