考虑到\[5+\lambda (2x^2+y^2)=(5+2\lambda )x^2-4xy+(\lambda -1)y^2,\]令右侧的判别式\[\Delta=16-4(5+2\lambda)(\lambda-1)=0,\]解得 $\lambda =-3$ 或 $\lambda=\dfrac 32$．于是有\[5-3(2x^2+y^2)=-(x+2y)^2\leqslant 0,\]进而可得 $2x^2+y^2\geqslant \dfrac 53$，且等号当 $x=-2y$，即 $(x,y)=\left(\dfrac{2\sqrt{15}}{9},-\dfrac{\sqrt{15}}{9}\right)$ 或 $(x,y)=\left(-\dfrac{2\sqrt{15}}{9},\dfrac{\sqrt{15}}{9}\right)$ 时取得．因此 $2x^2+y^2$ 的最小值为 $\dfrac 53$．