设实数 $x,y$ 满足 $5x^2-4xy-y^2=5$，则 $2x^2+y^2$ 的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
令\begin{align*}
x&=r\cos\theta,\\
y&=\sqrt{2}r\sin\theta,
\end{align*}则\begin{align*}
r^2\left[\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{2}\cos(2\theta+\varphi)\right]&=5,\\
2x^2+y^2&=2r^2,
\end{align*}解得 $r^2\geqslant\dfrac{5}{6}$，进而有 $2x^2+y^2\geqslant\dfrac{5}{3}$，且等号可以取到．
因此 $2x^2+y^2$ 的最小值为 $\dfrac 53$．
x&=r\cos\theta,\\
y&=\sqrt{2}r\sin\theta,
\end{align*}则\begin{align*}
r^2\left[\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{2}\cos(2\theta+\varphi)\right]&=5,\\
2x^2+y^2&=2r^2,
\end{align*}解得 $r^2\geqslant\dfrac{5}{6}$，进而有 $2x^2+y^2\geqslant\dfrac{5}{3}$，且等号可以取到．
因此 $2x^2+y^2$ 的最小值为 $\dfrac 53$．
题目
答案
解析
备注
