设实数 $x,y$ 满足 $5x^2-4xy-y^2=5$，则 $2x^2+y^2$ 的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
由题意，$5x^2-4xy-y^2=(5x+y)(x-y)=5$，令\begin{align*}
a&=5x+y,\\
b&=x-y,
\end{align*}则\begin{align*}
x&=\dfrac{a+b}{6},\\
y&=\dfrac{a-5b}{6},
\end{align*}因此\begin{align*}
2x^2+y^2
&=\dfrac{a^2+9b^2-2ab}{12}\\
&\geqslant\dfrac{6ab-2ab}{12}\\
&=\dfrac{5}{3},
\end{align*}且等号可以取到．因此 $2x^2+y^2$ 的最小值为 $\dfrac 53$．
a&=5x+y,\\
b&=x-y,
\end{align*}则\begin{align*}
x&=\dfrac{a+b}{6},\\
y&=\dfrac{a-5b}{6},
\end{align*}因此\begin{align*}
2x^2+y^2
&=\dfrac{a^2+9b^2-2ab}{12}\\
&\geqslant\dfrac{6ab-2ab}{12}\\
&=\dfrac{5}{3},
\end{align*}且等号可以取到．因此 $2x^2+y^2$ 的最小值为 $\dfrac 53$．
题目
答案
解析
备注
