设 $a,b$ 为实数，若不等式 $a\cos x+b\cos 3x\leqslant1$ 对任意实数 $x$ 恒成立，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
【答案】
ABCD
【解析】
根据题意，有\[\forall m\in [-1,1],ma+(4m^3-3m)b\leqslant 1.\]分别
分别令 $m=\pm 1$，可得\[a+b\leqslant 1,-(a+b)\leqslant 1,\]从而选项A成立；
令 $m=\pm \dfrac 12$，可得\[\dfrac 12(a-2b)\leqslant 1,-\dfrac 12(a-2b)\leqslant 1,\]从而选项B成立；
分别令 $m=\pm \dfrac{1}{\sqrt 2}$，可得\[\dfrac{1}{\sqrt 2}(a-b)\leqslant 1,-\dfrac{1}{\sqrt 2}(a-b)\leqslant 1,\]从而选项C成立；
由A，B知\[|3b|=|(a+b)-(a-2b)|\leqslant |a+b|+|a-2b|\leqslant 3,\]从而选项D成立．
分别令 $m=\pm 1$，可得\[a+b\leqslant 1,-(a+b)\leqslant 1,\]从而选项A成立；
令 $m=\pm \dfrac 12$，可得\[\dfrac 12(a-2b)\leqslant 1,-\dfrac 12(a-2b)\leqslant 1,\]从而选项B成立；
分别令 $m=\pm \dfrac{1}{\sqrt 2}$，可得\[\dfrac{1}{\sqrt 2}(a-b)\leqslant 1,-\dfrac{1}{\sqrt 2}(a-b)\leqslant 1,\]从而选项C成立；
由A，B知\[|3b|=|(a+b)-(a-2b)|\leqslant |a+b|+|a-2b|\leqslant 3,\]从而选项D成立．
题目
答案
解析
备注
