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过椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 的中心作两条互相垂直的弦 $AC$ 和 $BD$，顺次连结 $A,B,C,D$ 得一四边形，则该四边形的面积可能为 \((\qquad)\)
A: $10$
B: $12$
C: $14$
D: $16$
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    面积计算
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    解析几何中的计算技巧
    >
    极坐标表示
【答案】
B
【解析】
设四个交点的坐标分别为$$(r_1\cos\theta,r_1\sin \theta),(-r_1\cos\theta,-r_1\sin \theta),(-r_2\sin\theta,r_2\cos \theta),(r_2\sin\theta,-r_2\cos \theta),$$则\[\begin{split} &\dfrac{(r_1\cos\theta)^2}{a^2}+\dfrac{(r_1\sin\theta)^2}{b^2}=1,\\&\dfrac{(r_2\sin\theta)^2}{a^2}+\dfrac{(r_2\cos\theta)^2}{b^2}=1,\end{split}\]于是\[\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}=\dfrac 14+\dfrac 19=\dfrac{13}{36},\]从而菱形 $ABCD$ 的面积 $2r_1r_2$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{144}{13},12\right]$．
题目 答案 解析 备注
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