设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，若$$\begin{cases} a+c=\sqrt 3,\\ b\cos C+(a+c)(b\sin C-1)=0,\end{cases}$$则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
【答案】
ACD
【解析】
根据题意，有\[b\cos C+\sqrt 3b\sin C-(a+c)=0,\]应用正弦定理，有\[\sin B\cos C+\sqrt 3 \sin B\sin C-\sin(B+C)-\sin C=0,\]即\[\sin C\cdot \left[2\sin\left(B-\dfrac{\pi}6\right)-1\right]=0,\]于是 $B=\dfrac{\pi}3$，选项A正确，选项B错误；
由于\[S_{\triangle ABC}=\dfrac 12ac\sin B\leqslant \dfrac{\sqrt 3}4\cdot \left(\dfrac{a+c}2\right)^2,\]进而可得当且仅当 $a=c=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 时，$\triangle ABC$ 的面积取得最大值 $\dfrac{\sqrt 3}4\cdot \left(\dfrac{\sqrt 3}2\right)^2=\dfrac{3\sqrt 3}{16}$，选项C正确；
根据余弦定理，有\[b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=(a+c)^2-3ac\geqslant 3-3\cdot \left(\dfrac{a+c}2\right)^2=\dfrac 34,\]进而可得当且仅当 $a=c=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 时，$\triangle ABC$ 的周长取得最小值 $\dfrac{3\sqrt 3}2$，选项D正确．
由于\[S_{\triangle ABC}=\dfrac 12ac\sin B\leqslant \dfrac{\sqrt 3}4\cdot \left(\dfrac{a+c}2\right)^2,\]进而可得当且仅当 $a=c=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 时，$\triangle ABC$ 的面积取得最大值 $\dfrac{\sqrt 3}4\cdot \left(\dfrac{\sqrt 3}2\right)^2=\dfrac{3\sqrt 3}{16}$，选项C正确；
根据余弦定理，有\[b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=(a+c)^2-3ac\geqslant 3-3\cdot \left(\dfrac{a+c}2\right)^2=\dfrac 34,\]进而可得当且仅当 $a=c=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 时，$\triangle ABC$ 的周长取得最小值 $\dfrac{3\sqrt 3}2$，选项D正确．
题目
答案
解析
备注
