设正实数 $k$ 使得关于 $x$ 的方程 $kx=\sin x$ 在区间 $(-3\pi,3\pi)$ 内恰有 $5$ 个实根 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$，且\[
x_1<x_2<x_3<x_4<x_5,\]则 \((\qquad)\)
x_1<x_2<x_3<x_4<x_5,\]则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
【答案】
ABC
【解析】
如图．
根据对称性，可知选项A正确．
因为直线 $y=kx$ 与曲线 $y=\sin x$ 在 $x=x_5$ 时相切，于是有\begin{align*}
kx_5&=\sin x_5,\\
k&=\cos x_5,
\end{align*}从而可得 $x_5=\tan x_5$，因此选项C正确．
现在判断选项B．显然 $x_5\in\left(2\pi,\dfrac{5\pi}{2}\right)$．考虑函数 $f(x)=x-\tan x, x\in\left(2\pi,\dfrac{5\pi}{2}\right)$，
由选项C的分析可知，$f\left(x_5\right)=0$．
因为\[f'(x)=1-\dfrac{1}{\cos^2x}>0, x\in\left(2\pi,\dfrac{5\pi}{2}\right),\]所以 $f(x)$ 在 $\left(2\pi,\dfrac{5\pi}{2}\right)$ 上单调递增，进而可知函数 $f(x)$ 在 $\left(2\pi,\dfrac{5\pi}{2}\right)$ 上有唯一零点 $x_5$．
由于\[\tan\dfrac{29\pi}{12}=\tan\dfrac{5\pi}{12}=2+\sqrt 3<\dfrac{29\pi}{12},\]故 $f\left(\dfrac{29\pi}{12}\right)>0$，同时 $\displaystyle\lim_{x\to\frac{5\pi}{2}}f(x)=-\infty$，
因此 $x_5\in\left(\dfrac{29\pi}{12},\dfrac{5\pi}{2}\right)$，选项B正确．
若 $x_2,x_4,x_5$ 构成等差数列，则 $x_5=3x_4$，由题意，正实数 $x_4$ 满足方程组\begin{align*}
kx&=\sin x,\\
k\cdot 3x&=\sin 3x.
\end{align*}但事实上，第二个方程即\[3kx = 3\sin x-4\sin^3x,\]将第一个方程代入可知原方程组无非零实数解，矛盾，因此选项D错误．
根据对称性，可知选项A正确．因为直线 $y=kx$ 与曲线 $y=\sin x$ 在 $x=x_5$ 时相切，于是有\begin{align*}
kx_5&=\sin x_5,\\
k&=\cos x_5,
\end{align*}从而可得 $x_5=\tan x_5$，因此选项C正确．
现在判断选项B．显然 $x_5\in\left(2\pi,\dfrac{5\pi}{2}\right)$．考虑函数 $f(x)=x-\tan x, x\in\left(2\pi,\dfrac{5\pi}{2}\right)$，
由选项C的分析可知，$f\left(x_5\right)=0$．
因为\[f'(x)=1-\dfrac{1}{\cos^2x}>0, x\in\left(2\pi,\dfrac{5\pi}{2}\right),\]所以 $f(x)$ 在 $\left(2\pi,\dfrac{5\pi}{2}\right)$ 上单调递增，进而可知函数 $f(x)$ 在 $\left(2\pi,\dfrac{5\pi}{2}\right)$ 上有唯一零点 $x_5$．
由于\[\tan\dfrac{29\pi}{12}=\tan\dfrac{5\pi}{12}=2+\sqrt 3<\dfrac{29\pi}{12},\]故 $f\left(\dfrac{29\pi}{12}\right)>0$，同时 $\displaystyle\lim_{x\to\frac{5\pi}{2}}f(x)=-\infty$，
因此 $x_5\in\left(\dfrac{29\pi}{12},\dfrac{5\pi}{2}\right)$，选项B正确．
若 $x_2,x_4,x_5$ 构成等差数列，则 $x_5=3x_4$，由题意，正实数 $x_4$ 满足方程组\begin{align*}
kx&=\sin x,\\
k\cdot 3x&=\sin 3x.
\end{align*}但事实上，第二个方程即\[3kx = 3\sin x-4\sin^3x,\]将第一个方程代入可知原方程组无非零实数解，矛盾，因此选项D错误．
题目
答案
解析
备注
