如图，延长圆 $O$ 的一条弦 $AB$ 至 $C$，过点 $C$ 作圆 $O$ 的两条切线 $CM,CN$，切点分别为 $M,N$．$Q$ 为 $AB$ 上一点，满足 $\angle AMQ=\angle BNC$，则 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
【答案】
ABCD
【解析】
根据弦切角定理和圆周角定理，有\[\angle BMC=\angle MAB=\angle MNB, \angle AMQ=\angle BNC=\angle BMN=\angle BAN,\]故选项A，B，C正确．
因为\[\angle MQC=\angle MAQ+\angle AMQ=\angle MNB+\angle BNC=\angle MNC,\]所以 $M,Q,N,C$ 四点共圆，于是 $\angle MAN=\angle NMC=\angle BQN$，
又因为 $\angle AMN=\angle QBN$，故选项D正确．
因为\[\angle MQC=\angle MAQ+\angle AMQ=\angle MNB+\angle BNC=\angle MNC,\]所以 $M,Q,N,C$ 四点共圆，于是 $\angle MAN=\angle NMC=\angle BQN$，
又因为 $\angle AMN=\angle QBN$，故选项D正确．
题目
答案
解析
备注
