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已知直线 $l_1:y=-\dfrac 12x$，$l_2:y=\dfrac 12x$，动点 $P$ 在椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$ 上，作 $PM\parallel l_2$ 且与直线 $l_1$ 交于点 $M$，作 $PN\parallel l_1$ 且与直线 $l_2$ 交于点 $N$．若 $|PM|^2+|PN|^2$ 为定值，则 \((\qquad)\)
A: $ab=2$
B: $ab=3$
C: $a=2b$
D: $a=3b$
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线的定点定值问题
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的方程
    >
    椭圆的标准方程
【答案】
C
【解析】
设 $M(2m,m)$，$B(2n,-n)$，则 $P(2(m+n),m-n)$，根据题意，$|PM|^2+|PN|^2$ 为定值，因此\[|OM|^2+|ON|^2=|PM|^2+|PN|^2=5(m^2+n^2)\]为定值．另一方面，有\[\dfrac{4(m+n)^2}{a^2}+\dfrac{(m-n)^2}{b^2}=1,\]即\[\left(\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)(m^2+n^2)+\left(\dfrac{8}{a^2}-\dfrac{2}{b^2}\right)mn=1,\]从而可得 $a=2b$．
题目 答案 解析 备注
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