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圆周上有 $10$ 个等分点，以这 $10$ 个等分点中的 $4$ 个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为 \((\qquad)\)
A: $10$
B: $20$
C: $40$
D: $60$
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    加法原理与乘法原理
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    排列数与组合数
【答案】
D
【解析】
记十等分点依次为 $A_1,A_2,\cdots,A_{10}$，按梯形互相平行的对边的端点脚标奇偶性是否相同分类，底边可能为 $A_1A_{10},A_2A_9,A_3A_8,A_4A_7,A_5A_6$ 中的两条，也可能为 $A_2A_{10},A_3A_9,A_4A_8,A_5A_7$ 中的两条，减去构成平行四边形的情况，得到不同的梯形个数为\[\left({\rm C}_5^2+{\rm C}_4^2-4\right)\times 5=60.\]
题目 答案 解析 备注
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