$5$ 名运动员参加一次乒乓球比赛，每 $2$ 名运动员都赛 $1$ 场并决出胜负．设第 $i$ 位运动员共胜 $x_i$ 场，负 $y_i$ 场 $(i=1,2,3,4,5)$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
【答案】
ABC
【解析】
根据题意，有\[x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=y_1+y_2+y_3+y_4+y_5=10,\]故选项A，C正确．
因为\begin{align*}
\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_i^2-\displaystyle\sum_{i=1}^{5}y_i^2
&=\displaystyle\sum_{i=1}^{5}\left(x_i^2-y_i^2\right)\\
&=\displaystyle\sum_{i=1}^{5}\left(x_i+y_i\right)\left(x_i-y_i\right)\\
&=\displaystyle\sum_{i=1}^{5}4\left(x_i-y_i\right)\\
&=4\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_i-4\displaystyle\sum_{i=1}^{5}y_i\\
&=0,
\end{align*}所以\[x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2+y_5^2,\]故选项B正确．
取 $\left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\right)=(2,2,2,2,2)$，有 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2=20$；
取 $\left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\right)=(4,3,2,1,0)$，有 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2=30$，故选项D错误．
因为\begin{align*}
\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_i^2-\displaystyle\sum_{i=1}^{5}y_i^2
&=\displaystyle\sum_{i=1}^{5}\left(x_i^2-y_i^2\right)\\
&=\displaystyle\sum_{i=1}^{5}\left(x_i+y_i\right)\left(x_i-y_i\right)\\
&=\displaystyle\sum_{i=1}^{5}4\left(x_i-y_i\right)\\
&=4\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_i-4\displaystyle\sum_{i=1}^{5}y_i\\
&=0,
\end{align*}所以\[x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2+y_5^2,\]故选项B正确．
取 $\left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\right)=(2,2,2,2,2)$，有 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2=20$；
取 $\left(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\right)=(4,3,2,1,0)$，有 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2=30$，故选项D错误．
题目
答案
解析
备注
