对于选项A，考虑到\[\sin x\cdot \sin 2x =2\sin^2 x\cos x=2\sqrt{\dfrac 12\cdot 2\cos^2x(1-\cos^2x)(1-\cos^2x)}\leqslant \dfrac{4\sqrt 3}9<\dfrac 79,\]于是 $f(x)$ 的最大值小于 $\dfrac 79$，方程 $f(x)=\dfrac 79$ 无解．
对于选项B，因为 $f(2\pi-x)=f(x)$，所以函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 对称，且 $f(\pi)=0$．当 $a=0$ 时，$f(x)=a$ 在 $[0,2\pi)$ 上的解为 $x=0,\dfrac{\pi}2,\pi,\dfrac{3\pi}2$，共 $4$ 个；当 $a\ne 0$ 时，$f(x)=a$ 的解关于直线 $x=\pi$ 对称，并且解位于 $(0,2\pi)$ 内，必为偶数个，所以B正确．
对于选项C，$x=0$ 是 $f(x)$ 的一条对称轴．
对于选项D，$\left(\dfrac{\pi}2,0\right)$ 是 $f(x)$ 的一个对称中心．