设复数 $z$ 满足：存在复数 $x,y$ 使得 $x+y=x^4+y^4=1$，且 $xy=z$，则符合条件的 $z$ 的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
因为\[\begin{split}1&=x^4+y^4\\
&=(x+y)^4-4xy(x^2+y^2)-6x^2y^2\\
&=(x+y)^4-4xy[(x+y)^2-2xy]-6x^2y^2\\
&=1-4z(1-2z)-6z^2\\
&=2z^2-4z+1,\end{split}\]所以 $z=2$ 或 $z=0$．
&=(x+y)^4-4xy(x^2+y^2)-6x^2y^2\\
&=(x+y)^4-4xy[(x+y)^2-2xy]-6x^2y^2\\
&=1-4z(1-2z)-6z^2\\
&=2z^2-4z+1,\end{split}\]所以 $z=2$ 或 $z=0$．
题目
答案
解析
备注
