方法一令 $m=2$，$p=1$，$q=n+1$，则有$$\dfrac{a_2+a_n}{(1+a_2)(1+a_n)}=\dfrac{a_1+a_{n+1}}{(1+a_1)(1+a_{n+1})},$$整理得$$a_{n+1}=\dfrac{(1-a_1a_2)a_n+a_2-a_1}{(a_2-a_1)a_n+1-a_1a_2},$$利用不动点改造递推公式，可得若 $a_1=1$，则 $a_n=1 (n=1,2,\cdots)$．若 $a_1\neq 1$，由不动点法，我们有\[\dfrac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}=\dfrac{a_1-1}{a_1+1}\cdot\dfrac{a_2+1}{a_2-1}\cdot \dfrac{a_n+1}{a_n-1},\]从而可求出数列 $\{a_n\}$ 的通项．又\[\left|\dfrac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}\right|=\left|\dfrac{a_1-1}{a_1+1}\cdot\dfrac{a_2+1}{a_2-1}\right|\cdot \left|\dfrac{a_n+1}{a_n-1}\right|,\]由于 $\left|\dfrac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}\right|>1$，于是\[\left|\dfrac{a_1-1}{a_1+1}\cdot\dfrac{a_2+1}{a_2-1}\right|\geqslant 1,\]从而\[\left|\dfrac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}\right|\geqslant \left|\dfrac{a_n+1}{a_n-1}\right|,\]进而可得当 $n\geqslant 2$ 时，$a_n$ 在 $\dfrac 1{a_1}$ 到 $a_1$ 之间．
方法二令\[a_n=\dfrac{\dfrac{1}{2}-b_n}{\dfrac{1}{2}+b_n}>0,\]有 $-\dfrac{1}{2}<b_n<\dfrac{1}{2}$，且对满足 $m+n=p+q$ 的任意正整数 $m,n,p,q$，都有 $b_mb_n=b_pb_q$，因此 $b_n=0 (n=1,2,\cdots)$ 或者 $\left\{b_n\right\}$ 成等比数列（公比 $q$ 满足 $|q|\leqslant 1$）．
若 $a_1=1$，则 $a_n=1 (n=1,2,\cdots)$，故选项A正确．
若 $a_1=\dfrac{1}{2}$，$a_2=\dfrac{1}{3}$，解得 $b_1=\dfrac{1}{6}$，$b_2=\dfrac{1}{4}$，$q=\dfrac{3}{2}>1$，故选项B错误．
若 $a_1=\dfrac{3}{5}$，$a_{2017}=\dfrac{1}{3}$，解得 $b_1=\dfrac{1}{8}$，$b_{2017}=\dfrac{1}{4}$，$|q|=\sqrt[2016]{2}>1$，故选项C错误．
若 $a_1=\dfrac{1}{2}$，$a_2=\dfrac{4}{5}$，解得 $b_1=\dfrac{1}{6}$，$b_2=\dfrac{1}{18}$，$q=\dfrac{1}{3}$，满足题意，且易知 $a_2$ 还有其它满足题意的取值，故选项D正确．