若曲线 ${C_1}:{x^2} + {y^2} - 2x = 0$ 与曲线 ${C_2}:y\left(y - mx - m\right) = 0$ 有四个不同的交点，则实数 $m$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年高考江西卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
可以根据选项范围的特点，验证特殊值 $m = 0$ 和 $m = 1$，利用排除法解答．观察选项，提炼出待检样例 $m = 0$ 和 $m = 1$．
当 $m = 0$ 时，${C_2}$：${y^2} = 0$ 即 $y = 0$，与 ${C_1}$ 只有两个不同交点，不符合题意，排除A、C；
当 $m = 1$ 时，${C_2}$：$y = 0$ 或 $y = x + 1$，与 ${C_1}$ 交于 $\left( {0 , 0} \right)$、$\left( {2 , 0} \right)$，不符合题意，排除D；选B．
其他解法：
曲线 ${x^2} + {y^2} - 2x = 0$ 表示以 $\left( {1,0} \right)$ 为圆心，以 $ 1 $ 为半径的圆．
曲线 $y\left( {y - mx - m} \right) = 0$ 表示 $y = 0$ 和 $ y - mx - m = 0$ 两条直线．
其中 $ y - mx - m = 0$ 过定点 $\left( { - 1,0} \right)$，而直线 $y = 0$ 与圆有两个交点，故直线 $y - mx - m = 0$ 也应该与圆有两个交点，如图可以知道，临界情况即是直线与圆相切的时候，经计算可得，两种相切情况分别对应\[m = - \frac{\sqrt 3 }{3} 和 m = \frac{\sqrt 3 }{3},\]由图可知，$m$ 的取值范围应为\[\left( { - \frac{\sqrt 3 }{3},0} \right) \cup \left( {0,\frac{\sqrt 3 }{3}} \right).\]
当 $m = 0$ 时，${C_2}$：${y^2} = 0$ 即 $y = 0$，与 ${C_1}$ 只有两个不同交点，不符合题意，排除A、C；
当 $m = 1$ 时，${C_2}$：$y = 0$ 或 $y = x + 1$，与 ${C_1}$ 交于 $\left( {0 , 0} \right)$、$\left( {2 , 0} \right)$，不符合题意，排除D；选B．
其他解法：
曲线 ${x^2} + {y^2} - 2x = 0$ 表示以 $\left( {1,0} \right)$ 为圆心，以 $ 1 $ 为半径的圆．
曲线 $y\left( {y - mx - m} \right) = 0$ 表示 $y = 0$ 和 $ y - mx - m = 0$ 两条直线．
其中 $ y - mx - m = 0$ 过定点 $\left( { - 1,0} \right)$，而直线 $y = 0$ 与圆有两个交点，故直线 $y - mx - m = 0$ 也应该与圆有两个交点，如图可以知道，临界情况即是直线与圆相切的时候，经计算可得，两种相切情况分别对应\[m = - \frac{\sqrt 3 }{3} 和 m = \frac{\sqrt 3 }{3},\]由图可知，$m$ 的取值范围应为\[\left( { - \frac{\sqrt 3 }{3},0} \right) \cup \left( {0,\frac{\sqrt 3 }{3}} \right).\]
题目
答案
解析
备注
