在 $\triangle ABC$ 中，若 $\sin ^2A=\sin ^2B+\sin B\sin C$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
【答案】
AD
【解析】
先判断选项A，B，D．
方法一 根据题意，有\[\sin B\sin C=\sin^2A-\sin^2B=\sin(A+B)\cdot \sin(A-B),\]于是 $A=2B$，从而选项A，D正确，选项B错误．
方法二 根据题意，有\[
a^2=b^2+bc=b^2+c^2-2bc\cos A,\]即\[b=c-2b\cos A,\]也即\[\sin B=\sin(A+B)-2\sin B\cos A,\]也即\[
\sin B=\sin(A-B),\]从而\[
A=2B,\]从而选项A，D正确，选项B错误．
再判断选项C．
取 $(A,B,C)=\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right)$，可知选项C错误．
a^2=b^2+bc=b^2+c^2-2bc\cos A,\]即\[b=c-2b\cos A,\]也即\[\sin B=\sin(A+B)-2\sin B\cos A,\]也即\[
\sin B=\sin(A-B),\]从而\[
A=2B,\]从而选项A，D正确，选项B错误．
再判断选项C．
取 $(A,B,C)=\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right)$，可知选项C错误．
题目
答案
解析
备注
