已知 $\triangle ABC$ 中，三边 $a,b,c$ 满足\[\begin{cases} a^n+b^n>c^n,\\ b^n+c^n>a^n,\\ c^n+a^n>b^n,\end{cases}\]其中 $n$ 为不小于 $2$ 的常数，则 $\triangle ABC$ 的形状为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
不妨设 $c$ 为最大边，则\[\left(\dfrac ac\right)^n+\left(\dfrac bc\right)^n>1,\]设函数\[f(x)=\left(\dfrac ac\right)^x+\left(\dfrac bc\right)^x,\]则该函数为单调递减函数，因此当 $n\geqslant 2$ 时，有\[1<f(n)\leqslant f(2)=\dfrac{a^2+b^2}{c^2},\]于是\[a^2+b^2-c^2>0,\]因此该三角形的最大角为锐角，$\triangle ABC$ 为锐角三角形．
题目
答案
解析
备注
