数列 $\{a_n\}$ 满足 $ a_1=\dfrac 23 $，$ a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2(2n+1)a_n+1} $，则数列 $ \{a_n\} $ 的前 $ 2017 $ 项和 $ S_{2017}=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学优特（U-Test）数学测试试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据题意，有\[\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=4n+2,\]于是\[\dfrac{1}{a_n}=2n^2-\dfrac 12,\]进而\[a_n=\dfrac{2}{4n^2-1}=\dfrac 12\left(\dfrac{1}{n-\dfrac 12}-\dfrac{1}{n+\dfrac 12}\right),\]于是\[S_n=1-\dfrac{1}{2n+1},\]进而\[S_{2017}=\dfrac{4034}{4035}.\]
题目
答案
解析
备注
