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若 $x_1$ 是方程 $x{\rm e}^x={\rm e}^2$ 的解，$x_2$ 是方程 $x\ln x={\rm e}^2$ 的解，则 $x_1x_2=$  \((\qquad)\)
A: $1$
B: ${\rm e}$
C: ${\rm e}^2$
D: ${\rm e}^4$
【难度】
【出处】
2017年北京大学优特（U-Test）数学测试试题
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
【答案】
C
【解析】
根据题意，有\[x_1{\rm e}^{x_1}=\ln x_2{\rm e}^{\ln x_2}={\rm e}^2,\]而函数 $y=x{\rm e}^x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，因此\[x_1=\ln x_2,\]从而\[x_1x_2=x_2\ln x_2={\rm e}^2.\]
题目 答案 解析 备注
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